возможные уровни энергии свободны. Уровень Ферми (fp при Т- ==0К на рис. 2.6 отделяет энергетические состояния, занятые электронами, от свободных энергетических состояний.

При любых значениях температуры Т, отличных от О К, при энергии ц>=ц>р [согласно формуле (2.10)] функция распределения Fn ((f) = 0,5. Это значит, что при температуре, отличной от О К, функция fn{(p) определяет энергетический уровень, вероятность заполнения которого электронами равна 0,5. Иначе говоря, функция показывает, что вероятность нахождения электронов на некотором уровне (рп, расположенном выше уровня Ферми ц>р на величину Дф, равна вероятности возникновения дырок на уровне фв, лежащем ниже (fF на таком же энергетическом расстоянии Дф. Сказанное иллюстрируется симметричностью кривой функции распределения относительно значения уровня Ферми фр. Исходя из этого функция распределения для дырок запишется р(ф) = 1-Fn{((>).

При повышении температуры увеличивается вероятность перехода электрона на энергетический уровень, расположенный выше уровня Ферми ф, и появления дырки на энергетическом уровне, расположенном ниже уровня Ферми (р. Эти изменения состояний отражаются функцией Fn{(p), которая с повышением температуры (Г>ОК) отклоняется от ступенчатой и идет более плавно [см. рис. 2.6, Fn{(p) при Т>ОЩ.

На рис. 2.6 приведены зонная диаграмма собственного полупроводника и графики функции распределения для Г=ОК и Г>ОК. По оси абсцисс отложены значения функции распределения как для электронов Fnif), так и для дырок /р(ф). Поскольку в собственном полупроводнике при Г=ОК все уровни зоны проводимости свободны, а все уровни валентной зоны заполнены электронами, то для всех энергетических состояний зоны проводимости функция Ферми „(ф)=0, а для всех энергетических состояний валентной зоны Fn((p) = l, следовательно, уровень Ферми ф, выражающий среднее значение энергии электронов и дырок, расположен в запрещенной зоне.

Положение уровня Ферми в запрещенной зоне характеризуется энергетическим расстоянием Аф=фп-Ф- и Дф=ф-фв от границ разрешенных зон: проводимости фп и валентной фв. Если эта разность энергий Дф значительно больше (pr=kT, то для уровней зоны проводимости экспонента в функции Ферми [см. формулу (2.10)] намного превышает единицу, а для уровней валентной зоны значительно меньше ее,. и распределение носителей по энергетическим состояниям описывается статистикой Максвелла - Больцмана, являющейся частным случаем статистики Ферми,

i j. = [,{*„-*)/]- и (2.12)

Функция распределения позволяет определить концентрацию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, а также зависимости проводимости полупроводника от температуры, наличия примесей и других факторов.

§ 2.5. Концентрация носителей заряда в зонах

Концентрация носителей заряда в невырожденном полупроводнике. В общем случае концентрация носителей заряда, например электронов в некотором элементарном диапазоне энергии d(p с плотностью энергетических состояний в нем Л, пропорциональна произведению общего числа разрешенных энергетических состояний в данном диапазоне Ndxp на вероятность их заполнения Fn (ф). Полупроводники, у которых концентрации свободных носителей (п и р) меньше эффективной плотности энергетических уровней в разрешенной зоне (меньше максимально возможной концентрации электронов в зоне проводимости Лп и дырок в валентной зоне Лв), относят к невырожденным. В невырожденных полупроводниках распределение носителей заряда по энергоуровням подчиняется статистике Максвелла. Концентрация электронов п и дырок р в невырожденном полупроводнике:

n=N„[e-pУ]-\p = N,[e(P->(2.13)

По физическому смыслу параметры Nn и Nj, приблизительно отражают плотность энергетических уровней (на 1 см) соответственно в зоне проводимости (в полосе энергий от фп до фп+фт) и в валентной зоне (в полосе от фв до фв-фт) • Экспоненциальные множители [в формулах (2.13)]характеризуют вероятность нахождения электронов и дырок в соответствующей зоне. При повышении температуры возрастает температурный потенциал фт, вследствие чего увеличивается по экспоненциальному закону концентрация электронов и дырок в зонах.

Логарифмируя уравнения (2.13), определим значение уровня Ферми для невырожденного полупроводника:

<fi=fn + ("/п) 4<ff = 4~<eIn(P/N„). (2.14)

Так как nN-a и p<iN„, то логарифмы в этих выражениях отрицательны, отсюда следует, что уровень Ферми ф у невырожденных полупроводников всегда лежит в запрещенной зоне.

Полупроводники, у которых концентрация электронов и дырок превышает эффективную плотность энергетических уровней в разрешенной зоне, т. е. максимально возможную концентрацию (п> >Л/п, p>Nb), относят к вырожденный или полуметаллам. Распределение Максвелла для них неприменимо.

Концентрация носителей зарядов в собственном полупроводнике. В собственном полупроводнике при каждой температуре устанавливается термодинамическое равновесие процессов генерации и рекомбинации электронов и дырок, поэтому в нем действует равновесная концентрация носителей (Пг=рг). В этих условиях, как следует из уравнений (2.14), уровень Ферми фг в собственном полупроводнике будет находиться в середине запрещенной зоны.

Из равенств (2.13) произведение равновесных концентраций

электронов tti и дырок в собственном полупроводнике в условиях термодинамического равновесия {ni=pi):

Пр п1= N,,N, [eVn)/f.]- (-Рп-в)/-Рт. (2.15)

Концентрация свободных электронов щ и дырок pt в собственном полупроводнике при термодинамическом равновесии

п. = р. = VWjTne" (" "в)/Ч, (2.16)

Равновесная концентрация электронов щ и дырок р, в собственном полупроводнике определяется температурой и шириной запрещенной зоны полупроводника. Температурная зависимость учитывается изменением температурного потенциала Ц1г=кТ. С ростом температуры концентрация подвижных носителей увеличивается по экспоненциальному закону. Существенно влияние на концентрацию ширины запрещенной зоны Афз=фп-ф. Например, при комнатной температуре (Г=300 К) ширина запрещенной зоны кремния Афэ81=1,11 эВ больше, чем германия АфзОе=0,67 эВ, а собственная концентрация носителей заряда в кремнии (njsi=PiSi~2X XlOiOcM-3) на три порядка и более меньше,- чем в германии

(«г Ge = Рг Ge 2,5 1СМ-) .

Концентрация носителей заряда в примесном полупроводнике.

В примесном полупроводнике концентрацию электронов и дырок можно выразить через собственную концентрацию электронов:

Здесь фЕ=(фп+фв)/2 - электростатический потенциал полупроводника, равный потенциалу середины запрещенной зоны. Логарифмируя уравнения (2.17), получим значение уровня Ферми в примесном полупроводнике с электронной фи и дырочной фр проводимостью:

Vf« =Че+ t-c(«/"г); fpp = - г, In{Pn). (2.18)

У электронных полупроводников концентрация электронов п значительно превосходит собственную концентрацию ni, т. е. пщ, а концентрация дырок р значительно меньше ее, т. е. р-щ. У дырочных полупроводников р>П1, а n<ni. С учетом этих соотношений уровень Ферми согласно формуле (2.18) у электронных примесных полупроводников смещается ко дну зоны проводимости (рис. 2.7, а), а у дырочных - к потолку валентной зоны (рис. 2.7, б). Величина смещения уровня ф- тем больше, чем выше концентрация основных носителей заряда.

Концентрацию электронов, при которой уровень Ферми совпадает с дном зоны проводимости, называют критической. Аналогично при критической концентрации дырок в р-полупроводнике уровень Ферми будет совмещен с потолком валентной зоны. Критическое положение уровня Ферми определяет границу между вырожденным -И невырожденным состояниями полупроводника. В вырожденном